Parabeln durch 4 Punkte

Es wird sich zeigen: statt einer Parabel kann als singulärer Fall ein Paar paralleler Geraden entstehen.

Siehe Buch Höhere Mathematik sehen und verstehen  Abb. 2.43 e

Versuch mit Punkten auf der Standardparabel

A={-1,1};B={1,1};DD={2,4};EE={3,9};

p[{x_,y_}]:=a (x^2)+2b x y + c (y^2) +2d x+2e y +f

eq={p[A]==0,p[B]==0,p[DD]==0,p[EE]==0,a c-(b^2)==0}

sol=Solve[eq]

para=p[{x,y}]/.sol/.{a->1,b->10}

Thread[para==0]

ContourPlot[Thread[para==0]//Evaluate,{x,-5,5},{y,-5,10}]

Versuch mit Punkten auf der Standardparabel, aber symmetrisch

A={-1,1};B={1,1};DD={2,4};EE={-2,4};

p[{x_,y_}]:=a (x^2)+2b x y + c (y^2) +2d x+2e y +f

eq={p[A]==0,p[B]==0,p[DD]==0,p[EE]==0,a c-(b^2)==0}

sol=Solve[eq]

para=p[{x,y}]/.sol/.{a->1,c->1}

Thread[para==0]

ContourPlot[Thread[para==0]//Evaluate,{x,-5,5},{y,-5,10}]

Versuch mit Punkten auf einem Quadrat

A={-1,1};B={1,1};DD={-1,-1};EE={1,-1};

p[{x_,y_}]:=a (x^2)+2b x y + c (y^2) +2d x+2e y +f

eq={p[A]==0,p[B]==0,p[DD]==0,p[EE]==0,a c-(b^2)==0}

sol=Solve[eq]

para=p[{x,y}]/.sol/.{a->1,c->1}

Thread[para==0]

ContourPlot[Thread[para==0]//Evaluate,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Versuch mit Punkten, drei auf einer Geraden

A={-1,0};B={0,0};DD={1,0};EE={2,1};

p[{x_,y_}]:=a (x^2)+2b x y + c (y^2) +2d x+2e y +f

eq={p[A]==0,p[B]==0,p[DD]==0,p[EE]==0,a c-(b^2)==0}

sol=Solve[eq]

para=p[{x,y}]/.sol/.{a->1,c->1}

Thread[para==0]

ContourPlot[Thread[para==0]//Evaluate,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Versuch mit Punkten auf einer Raute

A={-2,0};B={2,0};DD={0,-1};EE={0,1};

p[{x_,y_}]:=a (x^2)+2b x y + c (y^2) +2d x+2e y +f

eq={p[A]==0,p[B]==0,p[DD]==0,p[EE]==0,a c-(b^2)==0}

sol=Solve[eq]

para=p[{x,y}]/.sol/.{a->1,c->1}

Thread[para==0]

ContourPlot[Thread[para==0]//Evaluate,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Versuch mit Punkten auf einem Drachen

A={-2,0};B={2,0};DD={0,-1};EE={0,5};

p[{x_,y_}]:=a (x^2)+2b x y + c (y^2) +2d x+2e y +f

eq={p[A]==0,p[B]==0,p[DD]==0,p[EE]==0,a c-(b^2)==0}

sol=Solve[eq]

para=p[{x,y}]/.sol/.{a->1,c->4}

Thread[para==0]

ContourPlot[Thread[para==0]//Evaluate,{x,-5,5},{y,-2,8}]